التبرير والبرهان
مقدمة
في
الرياضيات نطلق كلمة البرهان على الإثبات الذي يستند إلى بديهيات حيث أن الإثبات
يقوم على axiom معينة،
ويمكن التعبير عن معنى البرهان بعبارة رياضية أو بعلاقة رياضية تكون صحيحة منطقيًا
وفق مجموعة البدهيات، وفي المقال سوف نعرف ما هو البرهان والدليل والتبرير
للعبارات الرياضية الجبرية والهندسية.
تعريف البرهان والتبرير
وعلى ما سبق نصل إلى ان البرهان الرياضي عبارة عن حجة argument نقف
بها أمام تفسير ظاهرة، أو هي عبارة عن تعليل منطقي، وليس مجرد تعبير تجريبي. وفي
ضمن هذا التعريف فإننا يمكن أن نقول إن أي عبارة رياضية يمكن أن نضع لها برهان إذا
كانت صحيحة. ولا يمكن أن تبرهن على صحة عبارة خاطئة، وفي جميع الظروف وفي كل
الحالات قبل أن تقول إن شيء صحيح في الرياضة لابد أن تعرف ما البرهنة theorem الرياضية
على ذلك وكيف تم التوصل إلى ذلك. أما المقولة الغير المبرهنة يمكن ألا نقول عليها
خاطئة إذا كانت من النوع الذي يلقى نوعًا من الدعم التجريبي، كما أن هناك عبارات
رياضية لها أبحاث تثبت صحتها عن طريق الحدسية
conjecture.
ما هو البرهان الرياضي؟
البرهان
الرياضي في الرياضيات، البرهان عبارة عن إثبات، يستند على بديهيات axiom معينة،
لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحة منطقيًا حكمًا في ظل هذه المجموعة من
البدهيات. البرهان الرياضي إذا عبارة عن حجة
argument أو تعليل منطقي، ليس تجريبيًا. ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو
عبارة رياضية يجب أن تبرهن على صحتها في جميع الظروف والحالات قبل أن يتم اعتبارها
مبرهنة theorem رياضية
ما هي
البديهيات في الرياضيات؟
البديهيات في الرياضيات هي افتراضات للوصول إلى البرهان، ويطلق
على البدهيات المفترضة بديهيات ZFC أيZermelo–Fraenkel set theory وهي
عبارة عن نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل مع بديهيات الاختيار وهناك بدايات مختلفة.
وتقوم نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل على الحدس الرياضي المتبع حول نظرية المجموعات،
وفي نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات على بعض الأساسيات التي وضعها علم الجبر
والتحليل الرياضي إذا كانت بديهيات جبرية. وعندما يراد إثبات أمر رياضي يستحسن أن
تستخدم صياغة البديهيات التي تخدم القضية التي نتحدث عنها، وفي الجبر يسمى العنصر
الأيمن في القضية (المقدم) «ق» فرضاً، ويسمى العنصر الأيسر الطلب. على سبيل المثال
تكتب المبرهنة في كل متوازي أضلاع أن كل قطرين يقومان بالتقاطع وينصف كل منهم
القطر الآخر، في صيغة البرهان، نقول إذا كان الرباعي متوازي أضلاع، فإن القطريين لابد
وأن ينصِّف كل منهما الآخر. الفرض هنا في القضية والبديهي هو أن الشكل الرباعي
متوازي الأضلاع، والطلب هنا هو أن ينصف كل من قطريه القطر الآخر وهو المطلوب
إثباته عن طريق البرهان والدليل والتبرير. ويوجد للبرهان الرياضي العديد من الطرق
مثل ما يلي: البرهان المباشر، البرهان العكسي، والبرهان بالتناقض، والبرهان
بالاختيار، ومنهم أيضًا البرهان بالاستقراء والعديد منهم.
البرهان
المباشر في الرياضيات
البرهان المباشر في الرياضيات يقوم على أن العلاقة الخاصة
بالاقتضاء متعدية، بذلك يمكننا أن نقول إن إذا كان: أ تقتضي ب، وب تقتضي جـ فإن أ
بالضرورة لابد وان تقتضي جـ. مثال على البرهان المباشر: إذا طلب منك أن تثبت أنه
إذا كان س = 3 فإن 2(4 س + 5) – 1 = 33، يكون البرهان كما يلي: س = 3، تقتضي 4 س =
12، تقتضي 4س + 5 = 17، تقتضي 2 (4س + 5) = 34، تقتضي 2 (4س + 5) – 1 = 33.
البرهان الرياضي بالمنطق الرمزي
المنطق الرمزي هو عبارة عن مجموعة من القواعد ومجموعة من
الأساليب التي يتم استخدامها حتى نستطيع أن نحكم على أن هناك بعض الاستنتاجات
صحيحة، وعليه تكون كل الحقائق في التقارير المختلفة لها منطق رمزي. وفي حال اختيار
سلسلة من البراهين يكون المنطق هو السبيل للوصول إلى استنتاج السلسلة من خلال ربط
بعضها ببعض بالآخر، ولذلك في المنطق الرمزي يعمد على الشكل وليس على المضمون. وفي
التقارير نستخدم البراهين الرياضية التي لا تخالف البداهة والحدس، لإن الاستنتاج
يكون صحيح طالما هناك تسلسل مطابق لكافة القواعد الخاصة بالمنطق الرمزي. مثال على
المنطق الرمزي: عندما نقول أن كل الطالبات المتفوقات ومريم طالبة، النتيجة التي
نصل إليها من ذلك هي أن مريم طالبة متفوقة.
أمثلة
على البرهان الرياضي المختلفة
البرهان المباشر يعتمد على المعطيات، حيث استخدام المعطيات
للوصول إلى النتيجة المطلوبة عن طريق تطبيق كل قواعد الاستنتاج، وكذلك يتم التعويض
والتعميم حتى يتم البرهنة على الصواب. البرهان الغير مباشر يعتمد على الوصول إلى
التعارض مع صواب، حيث التعامل مع مسلمة ما أو نظرية أو تقرير، ونفترض عدم الصواب
ويطلب منا البرهان والدليل للتقرير نفسه الذي يتطلب البرهان.
مثال على البرهان الرياضي
من التمارين التي تتم على البرهان الرياضي ما يلي: اثبت انه اذا
كان 5-(x+4) = 70 فإن x18، باستخدام المعطيات نقوم بكتابة 5- . x +
(-5( . 4 = 70 خاصية التوزيع، 5-x – 20
= 70 بالتبسيط. 5-x – 20
+ 20 = 70 + 20 عن طريق خاصية جمع المساواة، فتكون 5- = 90 بالتبسيط، x= -18 بالتبسيط.
أنواع البرهان الرياضي
كما قلنا يوجد أساليب البرهان وكذلك يوجد أنواع، وهما البرهان
الجبري لحل المعادلات وحل المتباينات، البرهان الجبري يتم لإثبات العلاقة التي
تربط بين مقياسين. مثال عندما يكون هناك صيغة معينة معطاة مثل F-32 C=5/9، ونحتاج الوصول إلى F=9/5
C + 3. البرهان الجبري مجموعات من الأعداد والخطوات التي تمكنك من
إجراء العمليات للوصول إلى الشيء الذي نحتاج برهانه. وفي البرهان الجبري نقوم
باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات شيء ما، ومنها خاصية الجمع للمساواة، وإذا
كان a=b فإنa+c=b+cوكذلك
خاصية الطرح للمساواة = اذا كان a=b فان a-c=b-c. وتدخل
في ذلك خاصية الضرب للمساواة = إذا كان a=b فان c=b.cوكذلك
خاصية القسمة للمساواة = إذا كان a=b و c ≠ 0 فان a/c = b/c، وفي البرهان الجبري نستخدم خاصية الانعكاس للمساواة = a=a. وغيرها
الكثير من الخصائص مثل خاصية التماثل للمساواة و خاصية التعدي للمساواة و خاصية
التعويض للمساواة، والتوزيع الجبري حيث ان =
a(b+c)=ab+ac. البرهان الهندسي يتناول المستقيمات والقطع المستقيمة ويثبت
التوازي وقياسات أنواع الزوايا، كما يوجد والبرهان الإحداثي الذي يتناول المستوى
وقوانين الهندسة التحليلية. ومن صور البراهين برهان ذو عمودين، البرهان في عمود،
والمبرر في الثاني، والتسلسلي برهان في شكل مثل الخريطة والأسهم. البرهان الحر
يكون على شكل فقرة أو قطعة، والبرهان الهندسي ذو العمودين نوعه هندسي وطريقته ذو
عمودين أو برهان جبري وعمودين، أو برهان هندسي حر وهكذا.
خاتمة
في نهاية بحث عن التبرير والبرهان في الرياضيات doc نكون
قد تحدثنا عن تعريف البرهان والتبرير في الرياضيات، وتعرفنا على أن للبرهان
الرياضي العديد من الطرق حيث البرهان المباشر، والبرهان العكسي، والبرهان
بالاختيار، وغيرها، وكيف يكون التبرير والبرهان مهم للصف الأول ثانوي، وقدمنا
أمثلة على البرهان الرياضي المختلفة.
اضغط الرابط أدناه لتحميل البحث كامل ومنسق جاهز للطباعة
تعليقات
إرسال تعليق
لو عجبك الموضوع اضغط مشاركة ليستفيد غيرك